삼각함수의 덧셈정리

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목차
1. 개요2. 공식
2.1. 외우는 요령2.2. 증명
3. 삼각함수의 합성4. 배각, 반각 공식5. 곱을 합 또는 차로 바꾸는 공식6. 합 또는 차를 곱으로 바꾸는 공식7. 복소수의 경우8. 적용9. 관련 문서

1. 개요 [편집]

프톨레마이오스의 저서 알마게스트(Almagest)에 최초로 언급되어 정리되었으며, 그 이후 삼각법을 다루는 데 중요한 공식 중의 하나다.

특히 이 삼각함수의 덧셈정리는 문제를 박박 꼬면 정말 미칠 듯한 난도를 자랑한다.

본 덧셈정리들의 증명법 또한 알아두어야 한다.

2. 공식 [편집]

(이하 복부호 동순)
  • sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
  • cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta
  • tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\displaystyle\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

복소수에서는 다음과 같다.[1][2]
  • sin⁡(α±iβ)=sin⁡αcosh⁡β±icos⁡αsinh⁡β\sin\left(\alpha\pm i \beta\right)=\sin\alpha\cosh\beta\pm i \cos\alpha\sinh\beta
  • cos⁡(α±iβ)=cos⁡αcosh⁡β∓isin⁡αsinh⁡β\cos\left(\alpha\pm i \beta\right)=\cos\alpha\cosh\beta\mp i \sin\alpha\sinh\beta
  • tan⁡(α±iβ)=tan⁡α±itanh⁡β1∓itan⁡αtanh⁡β\displaystyle\tan\left(\alpha\pm i \beta\right)=\frac{\tan\alpha\pm i \tanh\beta}{1\mp i \tan\alpha\tanh\beta}

2.1. 외우는 요령 [편집]

싸코플코싸 코코마싸싸
sin(α+β)
=
sinα · cosβ
+
cosα · sinβ
[3]
싸코
플
코싸
cos(α+β)
=
cosα · cosβ
-
sinα · sinβ
코코
마
싸싸
tan(α+β)
=
tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ\dfrac{tan α + tan β}{1 - tan α · tan β}
일 마 탄탄 분의 탄 플 탄

가장 기본적이고 널리 알려진 방법 중 하나.
마이너스일 때는 +- 부호를 뒤집으면 된다.
sin(α+β) = 신(sin)코(cos)픈(+)꽃(cos)신(sin)
cos(α+β) = 고(cos)구(cos)마(-)사(sin)소(sin)
이런 배리에이션도 있다.

2.2. 증명 [편집]

  • 단위원을 이용한 증명
파일:SHEt6fl.png
단위원의 중심을 O, 양의 x축을 시초선으로하고 각의 크기가 각각 β,α\beta, \alpha인 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 B,C\rm B, C라고 하자 (즉, ∠AOB=β,∠AOC=α{\rm \angle AOB}=\beta, \angle {\rm AOC}=\alpha). 그럼 두 점의 좌표는 B(cos⁡β,sin⁡β),C(cos⁡α,sin⁡α){\rm B}\left(\cos\beta, \sin\beta\right), {\rm C}\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)이다. 두 점 사이의 거리를 구하는 공식으로 부터, BC‾2=(cos⁡β−cos⁡α)2+(sin⁡β−sin⁡α)2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2(cos⁡βcos⁡α+sin⁡βsin⁡α)=2−2(cos⁡βcos⁡α+sin⁡βsin⁡α)\overline{\rm BC}^2=\left(\cos\beta-\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\beta-\sin\alpha\right)^2=\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)+\left(\cos^2\beta+\sin^2\beta\right)-2\left(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\right)=2-2\left(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\right).
한편, 코사인법칙으로부터, BC‾2=12+12−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)\overline{\rm BC}^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\left(\alpha-\beta\right)이다. 따라서, cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. 여기서 β\beta에 −β-\beta를 대입하면 cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
한편, sin⁡(α+β)=cos⁡(π2−(α+β))=cos⁡((π2−α)−β)=cos⁡(π2−α)cos⁡β+sin⁡(π2−α)sin⁡β=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle\sin\left(\alpha+\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha+\beta\right)\right)=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. 여기서β\beta에 −β-\beta를 대입하면 sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.
마지막으로, tan⁡(α+β)=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)}{\cos\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}.
여기서 분자, 분모를 cos⁡αcos⁡β\cos\alpha\cos\beta로 나누면 tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}.
여기서 β\beta에 −β-\beta를 대입하면 tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}.
  • 벡터를 이용한 증명
두 벡터 OB⃗,OC⃗\vec{\rm OB}, \vec{\rm OC}의 내적을 구하면, OC⃗⋅OB⃗=∣OC⃗∣⋅∣OB⃗∣cos⁡(∠COB)=1⋅1⋅cos⁡(α−β)\vec{\rm OC}\cdot\vec{\rm OB}=\left|\vec{\rm OC}\right|\cdot\left|\vec{\rm OB}\right|\cos\left(\angle {\rm COB}\right)=1\cdot1\cdot\cos\left(\alpha-\beta\right). 한편 두 벡터의 내적을 성분으로 나타내면, OC⃗⋅OB⃗=(cos⁡α,sin⁡α)⋅(cos⁡β,sin⁡β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\vec{\rm OC}\cdot\vec{\rm OB}=\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)\cdot\left(\cos\beta, \sin\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. 따라서 cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.
사인 및 탄젠트의 덧셈정리 증명은 위의 '단위원을 이용한 증명' 부분을 참고하면 된다.
  • 미분을 이용한 증명
(sin⁡x)′=cos⁡x, (cos⁡x)′=−sin⁡x\left( \sin x \right)'=\cos x ,\,\left( \cos x \right)'=-\sin x임을 알고 있다. 임의의 실수 aa에 대하여 aa를 고정한 후 f(x)=cos⁡(a−x)cos⁡x−sin⁡xsin⁡(a−x)f(x)=\cos (a-x)\cos x-\sin x \sin (a-x)로 놓으면 f′(x)=sin⁡(a−x)cos⁡x−cos⁡(a−x)sin⁡x−cos⁡xsin⁡(a−x)+sin⁡xcos⁡(a−x)=0f'(x)=\sin (a-x)\cos x-\cos(a-x) \sin x- \cos x \sin(a-x)+\sin x \cos(a-x)=0이다. 또한 f(0)=cos⁡af(0)=\cos a이므로 f(x)=cos⁡(a−x)cos⁡x−sin⁡xsin⁡(a−x)=cos⁡af(x)=\cos (a-x)\cos x-\sin x \sin (a-x)=\cos a이다. 이 때 모든 실수 x, yx,\,y에 대하여 a=x+ya=x+y로 놓으면 cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\cos(x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y이다.
단위원을 이용한 삼각함수의 정의에서는 삼각함수의 미분을 덧셈정리로부터 유도하기 때문에 이러한 방법이 불가능하지만, 삼각함수를 처음부터 무한 급수로 정의하는 경우에는 이러한 방법으로 삼각함수의 덧셈정리를 증명한다.
  • 오일러 공식을 이용한 증명
eiα=cos⁡α+isin⁡αe^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha이므로, e(iα+iβ)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)e^{\left(i\alpha+i\beta\right)}=\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right). 한편, e(iα+iβ)=eiα⋅eiβe^{\left(i\alpha+i\beta\right)}=e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}이므로, 실수부와 허수부를 나눠주면 된다.
cos⁡(α+β)=ℜ(eiα⋅eiβ)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos\left(\alpha+\beta\right)=\Re\left(e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
sin⁡(α+β)=ℑ(eiα⋅eiβ)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin\left(\alpha+\beta\right)=\Im\left(e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

오일러! 오일러! 복소수의 곱셈과 상등 그리고 오일러의 공식을 이용해서 순식간에 증명해냈다! 이것 말고도 삼각함수의 합성을 제외한 많은 공식은 오일러의 등식을 사용하면 매우 쉽게 풀린다. 외울 필요가 없어질 정도.

위 방법 외에도 닮음, 일차변환, 삼각형의 넓이를 이용한 증명 등 여러 가지 방법이 있다.

3. 삼각함수의 합성 [편집]

삼각함수의 덧셈정리를 응용해서 asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta+b\cos\theta형태로 나타난 삼각함수를 아래와 같이 하나로 합칠 수 있다.
1. asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2sin⁡(θ+α), (cos⁡α=aa2+b2,sin⁡α=ba2+b2)\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\theta+\alpha\right), \, \left(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)[4]
2. asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2cos⁡(θ−β), (cos⁡β=ba2+b2,sin⁡β=aa2+b2)\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\theta-\beta\right), \, \left(\cos\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)

증명은 그림을 그려서 각 α\alpha나 β\beta를 찾아서 합성하거나, 아니면 우변에 있는 합성된 삼각함수를 덧셈정리로 풀어서 정리하면 된다.

4. 배각, 반각 공식 [편집]

삼각함수의 덧셈정리에서 두 각을 같게 놔두면 2배각의 공식을 만들 수 있다.
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2αtan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\begin{aligned} &\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \\ &\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \\ &\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{aligned}
특히 코사인의 2배각 공식은 3가지 형태가 있는데, sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1를 이용해서 변형한 것이다.
덧셈정리에서 두각을 α,2α\alpha, 2\alpha로 놔두면 3배각의 공식을 만들 수 있다.
sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3αcos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α\begin{aligned} &\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \\ &\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \end{aligned}
증명은 덧셈정리를 이용해서 쭉 풀어나가면 된다. n배각 공식의 일반화는 쳬비쇼프 다항식이라 불리며 나름 특이한 성질이 있다.
아니면 또 오일러 공식을 이용해 n배각의 경우 n제곱과 이항정리만으로 유도할 수 있다.
또한, 코사인의 2배각 공식에서 반각 공식을 유도할 수 있다.α\alpha대신 α/2\alpha/2를 대입하면 된다.
sin⁡2α2=1−cos⁡α2cos⁡2α2=1+cos⁡α2tan⁡2α2=1−cos⁡α1+cos⁡α\begin{aligned} \displaystyle &\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2} \\ &\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2} \\ &\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\end{aligned}

얘는 덧셈정리처럼 벡터로 증명 못 하나[5]

5. 곱을 합 또는 차로 바꾸는 공식 [편집]

위의 합차공식에서 두 식을 적당히 더하거나 뺀 뒤, 넘겨서 정리하면 나온다.
  • sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\displaystyle\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) ]
  • cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\displaystyle\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) ]
  • cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\displaystyle\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) ]
  • sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\displaystyle\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta) ]

6. 합 또는 차를 곱으로 바꾸는 공식 [편집]

위 문단의 곱을 합차로 바꾸는 공식에서 유도되는 또다른 공식. α+β=A,α−β=B\alpha+\beta=A, \alpha-\beta=B로 치환한뒤 α,β\alpha, \beta에 관해서 풀면, α=(A+B)/2\displaystyle\alpha={(A+B)}/{2}, β=(A−B)/2\displaystyle \beta={(A-B)}/{2}이고, 이 값을 식에 대입한 뒤 좌변과 우변을 바꾸면 아래 공식을 얻는다.
  • sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\displaystyle\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
  • sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡A+B2sin⁡A−B2\displaystyle\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
  • cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2\displaystyle\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
  • cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2\displaystyle\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

7. 복소수의 경우 [편집]

간단히 sin⁡β\sin\beta → isinh⁡βi \sinh \beta, cos⁡β\cos\beta → cosh⁡β\cosh \beta로 갈음하면 된다.
  • sin⁡(α+iβ)=sin⁡αcosh⁡β+icos⁡αsinh⁡β\sin(\alpha+i \beta)=\sin\alpha\cosh\beta+i\cos\alpha\sinh\beta
  • sin⁡(α−iβ)=sin⁡αcosh⁡β−icos⁡αsinh⁡β\sin(\alpha-i \beta)=\sin\alpha\cosh\beta-i\cos\alpha\sinh\beta
  • cos⁡(α+iβ)=cos⁡αcosh⁡β−isin⁡αsinh⁡β\cos(\alpha+i \beta)=\cos\alpha\cosh\beta-i\sin\alpha\sinh\beta
  • cos⁡(α−iβ)=cos⁡αcosh⁡β+isin⁡αsinh⁡β\cos(\alpha-i\beta)=\cos\alpha\cosh\beta+i\sin\alpha\sinh\beta

8. 적용 [편집]

(1) sin⁡75°=sin⁡30°cos⁡45°+cos⁡30°sin⁡45°\sin75\degree=\sin30\degree\cos45\degree+\cos30\degree\sin45\degree=1222+3222=2+64\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}[6]
(2) 삼각함수의 도함수를 유도할 때, 덧셈정리를 이용한다. 예를 들어 sin⁡\sin함수의 경우, sin⁡(x+h)\sin(x+h)를 덧셈정리로 전개한 후 약분하여 구한다. 자세한 내용은 삼각함수/도함수 문서 참고.
(3) 여러 삼각함수가 곱해진 꼴을 적분할 때, 곱을 합 또는 차로 바꾸면 쉽게 적분할 수 있다.
(4) 좌표평면에서 두 직선이 이루는 각의 tan⁡\tan값을 구할 수 있다.[7]

9. 관련 문서 [편집]

[1] 밑에서 증명을 보면 알겠지만, 위의 세 등식도 복소수 범위의 α,β\alpha, \beta에 대해 잘 성립한다.[2] sinh⁡,cosh⁡,tanh⁡\sinh, \cosh, \tanh은 쌍곡선 함수이다.[3] '싸고 풀고 싸'라는 바리에이션도 있다. 화장실도 아니고 더럽게[4] asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2sin⁡(θ+∣b∣barccos⁡(aa2+b2))a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\left(\theta+\frac{\left|b\right|}{b}\arccos\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)\right)[5] 증명하지 못하는 건 아니지만, 벡터의 회전변환 자체가 삼각함수의 합차공식에서 유도되는지라 회전변환에서 역으로 합차공식을 가져오는 것이 조금 더 복잡해진다. 간단히 말해서 좌표평면을 일단 극좌표 형식으로 바꿔줘야 하는데, 이 과정에서 삼각함수를 사용하기 때문. 오히려 회전행렬을 이용하는 게 빠르다.[6] 이를 알면 삼각함수의 성질에 의해 cos⁡75°\cos75°의 값을 알 수 있고, 여각 공식을 이용하면 15°의 삼각함수 값 역시 구할 수 있다.[7] 기하(2015)에 나오는 벡터의 내적을 이용할 수도 있다.

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